Question

己知函數f(x)=,AR.

（1）證明：函數y=f(x)的圖象關于點（A,－1）成中心對稱圖形；

 (2)當 x[A+1,A+2]時，求證：f(x) [－2,－];

 (3)我們利用函數y=f(x)構造一個數列{x_n}，方法如下：對于給定的定義域中的x₁,令x₂=f(x₁),x₃=f(x₂),…，x_n=f(x_n－1),….

在上述構造數列的過程中，如果x_i+(I=2,,3,4,…)在定義域中，構造數列的過程將繼續下去；如果x_i不在定義域中，則構造數列的過程停止.

①如果可以用上述方法構造出一個常數列{x_n},求實數A的取值范圍；

②如果取定義域中任一值作為x₁,都可以用上述方法構造出一個無窮數列{ x_n}，求實數A的值.

Answer 1

答案：
解析：

（1）證明：設點P（x0,y0）是函數y=f(x)圖象上一點，則y0=. 點P關于（A,－1）的對稱點P＇（2A－x0,－2－y0）. ∵f(2A－x0)==, －2－y0=－2－= ∴－2－y0=f(2A－x0), 即P＇點在函數y=f(x)的圖象上. 所以，函數y=f(x)的圖象關于點（A,－1）成中心對稱圖形. （2）證明：∵[f(x)+2][f(x)+ ]=·=, 又x[A+1,A+2], ∴(x－A－1)(x－A－2)≤0,2（A－x）2>0. ∴[f(x)+2][f(x)+ ]≤0 ∴－2≤f(x) ≤－ . (3) 解：①根據題意，只需x≠A時，f(x)=x有解，即=x有解，即x2+(1－A)x+1－A=0有不等于A的解. ∴△>0或△=0并且x≠A. 由△>0得A<－3或A>1; 由△=0得A=－3或A=1.此時，分別為－2或0.符合題意. 綜上，A≤－3或A≥1. ②根據題意，應滿足x≠A時，=A無解,即x≠A時，(1+A)x=A2+A－1無解.由于x=A不是方程（1+A）x=A2+A－1的解，所以，對于任意x∈R，（1+A）x=A2+A－1無解. ∴A= －1.