Question

【題目】定義在上的函數滿足：對于任意實數都有恒成立，且當時，．

（Ⅰ）判定函數的單調性，并加以證明；

（Ⅱ）設，若函數有三個零點從小到大分別為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上為增函數；見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據函數的單調性的定義，結合抽象函數的關系公式進行證明即可；

（Ⅱ）根據抽象函數關系，由進行轉化得到，由在上為增函數，得到 ，利用數形結合進行得到，，求解.

（Ⅰ）在上為增函數，

證明：設，則，

則，

∵，當時，．

∴，即，

即，

所以在上為增函數；

（Ⅱ）由得，

又∵，∴，即，

∴，由（1）知在上單調遞增，

∴，

所以題意等價于與的圖象有三個不同的交點（如下圖），則，

且，，，

∴，

令，

設，

則

，

∵，

∴，，，

∴，

即在上單調遞增，

∴，即，

綜上：的取值范圍是