Question

已知a和b是任意非零實數．
（1）求

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值．
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用絕對值不等式的性質可得 

|2a+b|+|2a-b|

|a|

≥

|2a+b+2a-b|

|a|

=

|4a|

|a|

=4．
（2）由題意可得|2+x|+|2-x|≤

|2a+b|+|2a-b|

|a|

恒成立，由于

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值為4，故有x的
范圍即為不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集，解絕對值不等式求得實數x的取值范圍．

解答：解：（1）∵

|2a+b|+|2a-b|

|a|

≥

|2a+b+2a-b|

|a|

=

|4a|

|a|

=4，
故

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值為4．
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，
 即|2+x|+|2-x|≤

|2a+b|+|2a-b|

|a|

恒成立，故|2+x|+|2-x|不大于

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值．（4分）
由（1）可知，

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值為4，當且僅當（2a+b）（2a-b）≥0時取等號，
∴

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值等于4．（8分）
∴x的范圍即為不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集．
解不等式得-2≤x≤2，故實數x的取值范圍為[-2，2]． （10分）

點評：本題考查查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了轉化的數學思想．