Question

【題目】已知函數.（）

（1）若在區間上單調遞減，求實數的取值范圍；

（2）若在區間上，函數的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據函數在上單調遞減轉化為在上恒成立問題，再通過不等式恒成立條件求解即可

（2）令，根據在區間上，函數的圖象恒在曲線下方轉化成在區間上恒成立，求得，分別對和進行分類討論，結合正負判斷單調性，再結合恒成立問題進一步求解即可

解：（1）在區間上單調遞減，

則在區間上恒成立．

即，而當時，，故．

所以．

（2）令，定義域為.

在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立.

∵

①若，令，得極值點，，

當，即時，在（，+∞)上有，此時在區間上是增函數，并且在該區間上有，不合題意；

當，即時，同理可知，在區間上，

有，也不合題意；

②若，則有，此時在區間上恒有，從而在區間上是減函數；

要使在此區間上恒成立，只須滿足，

由此求得的范圍是

綜合①②可知，當時，函數的圖象恒在直線下方.