Question

如圖，已知點P為橢圓在第一象限內的任意一點，過橢圓的右頂點A和上頂點B分別作與y軸和x軸的平行線交于C，過P引BC、AC的平行線交AC于N，交BC于M，交AB于D、E，矩形PMCN的面積是S₁，三角形PDE的面積是S₂，則S₁：S₂=________．

Answer 1

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分析：根據橢圓方程設P（5cosθ，3sinθ），得到|PN|、|PM|關于θ的式子，從而得到矩形PMCN的面積S₁關于θ的式子．根據P點坐標和三角形相似的知識，分別算出D、E坐標關于θ的式子，從而得到|DP|、|EP|關于θ的式子，算出△PDE的面積S₂關于θ的式子，將S₁的式子與S₂式子加以對比，即可得到S₁：S₂的值．
解答：根據橢圓方程，設P（5cosθ，3sinθ），
∵P是橢圓第一象限內的點，∴，
由此可得：|PN|=5-5cosθ，|PM|=3-3sinθ，
∴矩形PMCN的面積S₁=|PM|•|PN|=15（1-cosθ）（1-sinθ）．
設D（m，n），
∵DP∥x軸，∴n=3sinθ，可得m=5（1-sinθ），
因此，|PD|=5cosθ-5（1-sinθ）=5（sinθ+cosθ-1）．
同理，求得|PE|=3（sinθ+cosθ-1）
∴△PDE的面積S₂=|PD|•|PE|=×5（sinθ+cosθ-1）×3（sinθ+cosθ-1）=（sinθ+cosθ-1）²
∵（sinθ+cosθ-1）²=sin²θ+cos²θ+1+2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ=2（1-sinθ-cosθ+sinθcosθ）
∴S₂=（sinθ+cosθ-1）²=15（1-sinθ-cosθ+sinθcosθ）=15（1-cosθ）（1-sinθ）
由此可得，S₁=S₂，即得S₁：S₂=1
故答案為：1
點評：本題給出由橢圓生成的矩形PMCN的面積S₁和△PDE的面積S₂，求S₁：S₂的值．著重考查了橢圓的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．