Question

如圖，已知點B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸位于x軸下方的端點，過B作斜率為1的直線交橢圓于點M，點P在y軸上，且PM∥x軸，

BP

•

BM

=9，若點P的坐標為（0，t），則t的取值范圍是（　　）

• A．0＜t＜3
• B．0＜t≤3
• C．0＜t＜

  3

  2

• D．0＜t≤

  3

  2

Answer 1

分析：由題意可得直線MB的方程為y=x-b，聯立直線與橢圓方程可求M，由PM∥x軸可求P，結合已知及向量的數量積的定義，|

.

BP

||

.

BM

|cos45°=9可得|

.

BP

|=3，從而可得t=3-b=

b(a2-b2)

b2+a2

，整理可得a2=

3b2

2b-3

，由t=3-b＜b，a＞b可求t的范圍

解答：解：由題意可得B（0，-b）
∴直線MB的方程為y=x-b
聯立方程

y=x-b x2 a2 + y2 b2 =1

 可得（a²+b²）x²-2ba²x=0
∴M（

2ba2

a2+b2

，

b(a2-b2)

a2+b2

），
∵PM∥x軸
∴P（0，

b(a2-b2)

a2+b2

）
∴

.

BP

=（0，

b(a2-b2)

a2+b2

+b），

.

BM

=（

2ba2

a2+b2

，

b(a2-b2)

a2+b2

+b）
∵

BP

•

BM

=9，
由向量的數量積的定義可知，|

.

BP

||

.

BM

|cos45°=9
即|

.

BP

|=3
∵P（0，t），B（0，-b）
∴t=3-b=

b(a2-b2)

b2+a2

∴2a²b=3a²+3b²即a2=

3b2

2b-3

∵t=3-b＜b
∴b＞

3

2

，t＜

3

2

由a＞b得a2=

3b2

2b-3

＞b²
∴b＜3
∴t＞0
綜上所述0＜t＜

3

2

故選C

點評：本題主要考查了直線與橢圓的相交關系的應用，向量的基本運算的應用及一定的邏輯推理與運算的能力．