Question

如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點．

(1)證明B1C1⊥CE；

(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值；

(3)設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長．

 

Answer 1

(1)見解析 (2) (3)

【解析】向量法

如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．

(1)證明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.

(2) ＝(1，－2，－1)．

設平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，

則即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一個法向量為m＝(－3，－2,1)．

由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)為平面CEC1的一個法向量．

于是cos〈m，〉＝＝＝－，從而sin〈m，〉＝，所以二面角B1CEC1的正弦值為.

(3) ＝(0,1,0)，＝(1,1,1)，設＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量．

設θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則

sin θ＝|cos〈，〉|＝＝，

于是＝，解得λ＝，所以AM＝.

綜合法

(1)證明　因為側棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1.經計算可得B1E＝，B1C1＝，EC1＝，從而B1E2＝B1＋E，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，又CC1，C1E?平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE?平面CC1E，故B1C1⊥CE.

(2)解　過B1作B1G⊥CE于點G，連接C1G.由(1)，B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1為二面角B1-CE-C1的平面角．在△CC1E中，由CE＝C1E＝，CC1＝2，可得C1G＝.

在Rt△B1C1G中，B1G＝，所以sin ∠B1GC1＝，即二面角B1-CE-C1的正弦值為.

(3)解　連接D1E，過點M作MH⊥ED1于點H，可得MH⊥平面ADD1A1，連接AH，AM，則∠MAH為直線AM與平面ADD1A1所成的角．設AM＝x，從而在Rt△AHM中，有MH＝x，AH＝x.在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，ED1＝，得EH＝MH＝x.

在△AEH中，∠AEH＝135°，AE＝1，

由AH2＝AE2＋EH2－2AE·EHcos 135°，得x2＝1＋x2＋x，整理得5x2－2x－6＝0，解得x＝.

所以線段AM的長為.