Question

設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，在軸負半軸上有一點，滿足，且.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）D是過三點的圓上的點，D到直線的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓的方程；

（Ⅲ）在（2）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的離心率     （2）橢圓方程為.  （3）的取值范圍是

【解析】I)由于可以根據(jù),把B點坐標用b,c表示出來,然后利用建立關于a,b,c的方程，即可確定e的值.

(II)先求出過三點A、B、F₂的圓的方程，然后根據(jù)圓到直線上的最大距離應為圓心到直線的距離加上半徑.再結合離心率即可確定橢圓C的方程.

（III）解題的關鍵是菱形條件就是然后坐標化再由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理差別式這個通式通法，解決問題.

解：（Ⅰ）設B（x₀，0），由（c，0），A（0，b），知 ，由于 即為中點．故，故橢圓的離心率   --4分

（Ⅱ）由（1）知得于是（，0）, B，

△ABF的外接圓圓心為（，0），半徑r=|FB|=,D到直線的最大距離等于，所以圓心到直線的距離為，所以，解得=2，∴c =1，b=，  所求橢圓方程為.    ------------------8分

（Ⅲ）由（2）知, ：

           代入得  

設，則，  ------9分

由于菱形對角線垂直，則故則

    -------------10分

由已知條件知且     

故存在滿足題意的點P且的取值范圍是．