Question

[理]如圖，已知動點A，B分別在圖中拋物線y²=4x及橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的實線上運動，若AB∥x軸，點N的坐標為（1，0），則△ABN的周長l的取值范圍是

 

．
[文]點P是曲線y=x²-lnx上任意一點，則P到直線y=x-2的距離的最小值是

 

．

Answer 1

分析：[理]先根據拋物線方程和橢圓方程分別求得他們的準線方程，設出A，B的坐標，過A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4，根據拋物線和橢圓的定義求得|NA|=|AH|=x₁+1，|NB|=|BH|•

1

2

=

4-x2

2

，進而表示出三角形周長，化簡整理后，求得周長L關于x₂的表達式，聯立拋物線和橢圓方程求得兩曲線的交點，判斷出x₂的范圍，進而確定L的范圍．
[文]由題意知，當曲線上過點P的切線和直線y=x-2平行時，點P到直線y=x-2的距離最小．求出曲線對應的函數的導數，令導數值等于1，可得且點的坐標，此切點到直線y=x-2的距離即為所求．

解答：解：[理]依題意可知拋物線準線為x=-1
橢圓右準線為x=4
設A（x₁，y） B（x₂，y）
過A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4
由圓錐曲線第二定義
|NA|=|AH|=x₁+1
|NB|=|BH|•

1

2

=

4-x2

2

L=x₁+1+x₂-x₁+

4-x2

2

=

x2+6

2

聯立拋物線和橢圓方程求得x=

2

3

或-6（舍負）
∴

2

3

≤x₂≤2
∴

10

3

≤

x2+6

2

≤4
即L的取值范圍是（

10

3

，4）
[文]點P是曲線y=x²-lnx上任意一點，
當過點P的切線和直線y=x-2平行時，
點P到直線y=x-2的距離最小．
直線y=x-2的斜率等于1，
令y=x²-lnx的導數 y′=2x-

1

x

=1，x=1，或 x=-

1

2

（舍去），
故曲線y=x²-lnx上和直線y=x-2平行的切線經過的切點坐標（1，1），
點（1，1）到直線y=x-2的距離等于

2

，
故點P到直線y=x-2的最小距離為

2

，
故答案為：（

10

3

，4），

2

點評：本題主要考查了橢圓和拋物線的應用，點到直線的距離公式的應用，函數的導數的求法及導數的意義，體現了轉化的數學思想．