Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分8分，第3小題滿分7分．

已知函數定義在區間上，，對任意，

恒有成立，又數列滿足，

設．

（1）在內求一個實數，使得；

（2）證明數列是等比數列，并求的表達式和的值；

（3）設，是否存在，使得對任意， 恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1），∴（3分）

（2），且
，即

∴是以為首項，為公比的等比數列，                    （2分）

∴.   （4分）       ∴.      （8分）

（3）（理）由（2）得，

∴，                              （1分）

則

∴是遞減數列，∴，    （3分）

要使對任意恒成立，

只須，即，    （5分）

故  ，∴，或，

∴當，且時，對任意恒成立，

∴的最小正整數值為。                                   （7分）

（文）由（2）得，．（1分）

若對任意恒成立，即，恒成立 （3分）

∵，∴當時，有最大值4，故．                   （5分）

又，∴存在，使得對任意，有．所以.（7分）