Question

（本小題滿分12分）如圖，在四棱柱中，側(cè)面⊥底面，，底面為直角梯形，其中
，O為中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面 ；
（Ⅱ）求銳二面角A—C₁D₁—C的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）證明：見(jiàn)解析；（Ⅱ）所求銳二面角A—C₁D₁—C的余弦值為。

(I)證明,即證:四邊形AB₁CO為平行四邊形.
(II)為的中點(diǎn)，，又側(cè)面⊥底面，故⊥底面，然后建立直角坐標(biāo)系,利用向量法求二面角,先求二面角兩個(gè)面的法向量,然后再求法向量的夾角,根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)來(lái)解.
（Ⅰ）證明：如圖，連接，     …………..1分
則四邊形為正方形，       …………..2分
，且  
故四邊形為平行四邊形，…………..3分
，            …………..4分
又平面，平面   ……..5分
平面                 …………..6分
（Ⅱ）為的中點(diǎn)，，又側(cè)面⊥底面，故⊥底面，…………..7分

以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則
，…………..8分

，…………..9分
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，得，
令，則………..10分
又設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，得，令
，則，………..11分
則，故所求銳二面角A—C₁D₁—C的余弦值為………..12分
注：第2問(wèn)用幾何法做的酌情給分.