Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，點A、B分別是橢圓C的左頂點和上頂點，直線AB與圓G：x2+y2=

c2

4

（c是橢圓的焦半距）相離，P是直線AB上一動點，過點P作圓G的兩切線，切點分別為M、N．
（1）若橢圓C經(jīng)過兩點(1，

4 2

3

)、(

3 3

2

，1)，求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)c為定值時，求證：直線MN經(jīng)過一定點E，并求

OP

•

OE

的值（O是坐標(biāo)原點）；
（3）若存在點P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令橢圓mx²+ny²=1，得

m+ 32 9 n=1 27 4 m+n=1

，由此能求出橢圓方程．
（2）直線AB：

x

-a

+

y

b

=1，設(shè)點P（x₀，y₀），點O，M，P，N所在的圓的方程為x²-x₀x+y²-y₀y=0，與圓x2+y2=

c2

4

作差，即有直線MN：x0x+y0y=

c2

4

，因為點P（x₀，y₀）在直線AB上，所以

x0

-a

+

y0

b

=1，由此能求出 

OP

•

OE

的值．
（3）由直線AB與圓G：x2+y2=

c2

4

相離，知e⁴-6e²+4＞0．因為0＜e＜1，所以0＜e2＜3-

5

，連接ON，OM，OP，若存在點P使△PMN為正三角形，則在Rt△OPN中，OP=2ON=2r=c，所以e⁴-3e²+1≤0．由此能求出橢圓離心率的取值范圍．

解答：解：（1）令橢圓mx²+ny²=1，其中m=

1

a2

，n=

1

b2

，
得

m+ 32 9 n=1 27 4 m+n=1

，所以m=

1

9

，n=

1

4

，即橢圓為

x2

9

+

y2

4

=1．         …（3分）
（2）直線AB：

x

-a

+

y

b

=1，
設(shè)點P（x₀，y₀），則OP中點為(

x0

2

，

y0

2

)，
所以點O，M，P，N所在的圓的方程為(x-

x0

2

)2+(y-

y0

2

)2=

x 2 0 +y02

4

，
化簡為x²-x₀x+y²-y₀y=0，…（5分）
與圓x2+y2=

c2

4

作差，即有直線MN：x0x+y0y=

c2

4

，
因為點P（x₀，y₀）在直線AB上，所以

x0

-a

+

y0

b

=1，
所以x0(x+

b

a

y)+(by-

c2

4

)=0，所以

x+ b a y=0 by- c2 4 =0

，
得x=-

c2

4a

，y=

c2

4b

，故定點E(-

c2

4a

，

c2

4b

)，…（8分）

OP

•

OE

=(x0，

b

a

x0+b)•(-

c2

4a

，

c2

4b

)=

c2

4

．                          …（9分）
（3）由直線AB與圓G：x2+y2=

c2

4

（c是橢圓的焦半距）相離，
則

ab

a2+b2

＞

c

2

，即4a²b²＞c²（a²+b²），4a²（a²-c²）＞c²（2a²-c²），
得e⁴-6e²+4＞0
因為0＜e＜1，所以0＜e2＜3-

5

，①…（11分）
連接ON，OM，OP，若存在點P使△PMN為正三角形，則在Rt△OPN中，OP=2ON=2r=c，
所以

ab

a2+b2

≤c，a²b²≤c²（a²+b²），a²（a²-c²）≤c²（2a²-c²），得e⁴-3e²+1≤0
因為0＜e＜1，所以

3- 5

2

≤e2＜1，②…（14分）
由①②，

3- 5

2

≤e2＜3-

5

，
所以

5 -1

2

≤e＜

10 - 2

2

．                                     …（15分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．