Question

對于四面體ABCD ，給出下列四個命題：①若AB=AC，BD=CD，則BC⊥AD;②若AB=CD，AC=BD，則BC⊥AD;③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD;④若AB⊥CD，BD⊥AC，則BC⊥AD.其中真命題的序號是__________（寫出所有真命題的序號）.

Answer 1

①④?

解析：①為真命題，證明如下：如圖，取BC中點M，連結AM、DM.?

由AB=AC，DB=DC，得AM⊥BC，DM⊥BC.?

故BC⊥面AMD，BC⊥AD.所以命題①為真命題.?

④為真命題，證明如下：設點A在平?

面BCD上的射影為點H，連結AH、BH、CH、DH,如圖所示.?

由AH⊥面BCD，AB⊥CD，得BH⊥CD.同理可得CH⊥BD.?

故H為△BCD的垂心，得HD⊥BC.?

又由三垂線定理逆定理可知BC⊥AD.所以命題④為真命題.?

②③都是假命題，可用特例結合反證法來證明.?

如圖，設AB=CD=1，AC=BD=2，AB⊥AC，BD⊥CD，作AN⊥BC于N，連結ND.假設BC⊥AD,則BC⊥平面NAD,得BC⊥ND.?

在Rt△ABC中，BN=，??

在Rt△BDC中，BN=，兩者相矛盾，假設不正確，即命題②③都是假命題.?

綜上，真命題的序號是①④.