Question

【題目】函數f（x）=loga（3﹣ax）（a＞0，a≠1）
（1）當a=3時，求函數f（x）的定義域；
（2）若g（x）=f（x）﹣loga（3+ax），請判定g（x）的奇偶性；
（3）是否存在實數a，使函數f（x）在[2，3]遞增，并且最大值為1，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：f（x）=log3（3﹣3x），

∴3﹣3x＞0，即x＜1，

所以函數f（x）的定義域為（﹣∞，1）

（2）解：易知g（x）=loga（3﹣ax）﹣loga（3+ax），

∵3﹣ax＞0，且3+ax＞0，

∴ ，關于原點對稱，

又∵g（x）=loga（3﹣ax）﹣loga（3+ax）= ，

∴g（﹣x）= =﹣ =﹣g（x），

∴g（x）為奇函數

（3）解：令u=3﹣ax，∵a＞0，a≠1，

∴u=3﹣ax在[2，3]上單調遞減，

又∵函數f（x）在[2，3]遞增，∴0＜a＜1，

又∵函數f（x）在[2，3]的最大值為1，

∴f（3）=1，

即f（3）=loga（3﹣3a）=1，

∴

【解析】（1）根據對數函數的性質求出函數的定義域即可；（2）根據奇函數的定義證明即可；（3）令u=3﹣ax，求出u=3﹣ax在[2，3]上的單調性，根據f（x）的最大值，求出a的值即可．