Question

【題目】如圖，已知三棱臺中，，M是的中點，N在線段上，且，過點的平面把這個棱臺分為兩部分，求體積較小部分與體積較大部分的體積比值.

Answer 1

【答案】

【解析】

不妨設平面⊥平面，設是邊長為的等邊三角形，則是邊長為的等邊三角形，設棱臺的高為，取中點，中點，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，先求出三棱臺的體積，過點，，的平面把這個棱臺分為兩部分，體積較小部分的體積為：，體積較大部分的體積為：，由此能求出體積較小部分與體積較大部分的體積比值.

三棱臺，，是的中點，在線段上，且不妨設平面⊥平面，

設是邊長為的等邊三角形，則是邊長為的等邊三角形，

設棱臺的高為，取中點，中點，

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

，，

三棱臺的體積，

，

所以，

，，，，

，，，

設平面的法向量，

所以，即，

取，得，

所以點到平面的距離，

，

所以，

所以

所以，

設平面與交于點，則點到直線的距離是點到直線距離的，

所以，

所以，

所以過點的平面把這個棱臺分為兩部分，

體積較小部分的體積為：

，

體積較大部分的體積為：

，

所以體積較小部分與體積較大部分的體積比值為.