Question

如圖，是半徑為2，圓心角為的扇形，是扇形的內接矩形.
（Ⅰ）當時，求的長；
（Ⅱ）求矩形面積的最大值.

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ） 

解析試題分析：（Ⅰ）由圖形的對稱性作出輔助線，用三角函數(shù)求出相關線段長度；（Ⅱ）設∠EOC＝θ，與（Ⅰ）類似用三角函數(shù)表示出相關線段長度和矩形ABCD的面積，繼而求關于θ的三角函數(shù)的最大值.
試題解析：如圖，記的中點為E，連結OE，OC，交BC于F，交AD于G，則∠DOG＝60°．
設∠EOC＝θ（0°＜θ＜60°）．

（Ⅰ）當＝時，θ＝30°．
在Rt△COF中，OF＝OCcos30°＝，CF＝OCsin30°＝1．
在Rt△DOG中，DG＝CF＝1，OG＝＝．
所以CD＝GF＝OF－OG＝．
（Ⅱ）與（Ⅰ）同理，
BC＝2CF＝4sinθ，CD＝OF－OG＝2cosθ－＝2cosθ－sinθ．
則矩形ABCD的面積
S＝BC·CD＝4sinθ(2cosθ－sinθ)＝4sin2θ－ (1－cos2θ)＝sin(2θ＋30°)－．
因為30°＜2θ＋30°＜150°，故當2θ＋30°＝90°，
即θ＝30°時，S取最大值．
考點：1、三角函數(shù)恒等變形；2、三角函數(shù)的計算和應用.