Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.

（Ⅰ）求平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值；

（Ⅱ）點是線段上的動點，當直線與所成角最小時，求線段的長度.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系.利用平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

（Ⅱ）利用向量共線得到的坐標.利用向量法求得直線與所成角為的余弦值的平方的表達式，還原后利用配方法求得的最大值，即求得的最大值，根據余弦函數的單調性可知，此時直線與所成角最小.根據最值成立的條件，求得線段的長度.

（Ⅰ）分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系.

，，，，，

則，，

取平面的法向量，設平面的法向量為，

則，，即，解得，取，則.

設平面與平面所成二面角（銳角）為，

則.

（Ⅱ）設（其中），

，設當直線與所成角為，則，

，

令，，則，

則，

當，即，時，取得最大值，最大值為，此時取得最大值.

由余弦函數單調性可知，此時銳角取得最小值，且.