Question

已知函數．
（Ⅰ）當時，函數取得極大值，求實數的值；
（Ⅱ）已知結論：若函數在區間內存在導數，則存在
，使得. 試用這個結論證明：若函數
（其中），則對任意，都有；
（Ⅲ）已知正數滿足，求證：對任意的實數，若時，都
有.

Answer 1

（Ⅰ） ；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）利用導數法判斷函數的單調性，根據函數在極值時有極值求出參數的值；（Ⅱ）構造新函數再利用導數法求解；（Ⅲ）由已知條件得出，再利用第（Ⅱ）問的結論對任意，都有求解.
試題解析：（Ⅰ）由題設，函數的定義域為，且
所以，得，此時.
當時，，函數在區間上單調遞增；
當時，，函數在區間上單調遞減.
函數在處取得極大值，故                 4分
（Ⅱ）令，
則.
因為函數在區間上可導，則根據結論可知：存在
使得                                7分
又，
當時，，從而單調遞增，；
當時，，從而單調遞減，；
故對任意，都有         .           9分
（Ⅲ），且，，
 
同理，                12分
由（Ⅱ）知對任意，都有，從而
．     14分
考點：導數的基本運算；導數與函數的單調性關系；不等式的基本性質與證明.