Question

已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,一個頂點A(0,-1),且右焦點到右準線的距離為.
(1)求橢圓的方程.
(2)試問是否能找到一條斜率為k(k≠0)的直線l,使l與橢圓交于不同兩點M、N且滿足|AM|=|AN|?若這樣的直線存在,求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.

Answer 1

1、橢圓方程為+y²=1.
2、k∈(-1,0)∪(0,1).

(1)設橢圓方程為=1,由已知得b=1,=.
∴c=,a²=3.
∴橢圓方程為+y²=1.
(2)設M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),MN中點P(x₀,y₀).
∴兩式相減,得

∴k=-.                                                                  ①
又∵|AM|=|AN|,
∴AP⊥MN.
∴k_AP=-,即=-.                                                     ②
聯立①②,解得
若直線l存在,則P在橢圓內部.
∴+y₀²<1,從而得k²<1.
∴-1<k<1且k≠0.
∴滿足條件的直線l存在,且k∈(-1,0)∪(0,1).