Question

（2011•重慶二模）已知各項均為正數的等比數列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，若

1

m

+

9

n

的最小值為（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：由等比數列數列的通項公式和 a₇=a₆+2a₅ 求得q=2，代入

am•an

=2a1求出m+n=4，化為“1”代入

1

m

+

9

n

，利用基本不等式求出的最小值．

解答：解：設等比數列的公比為q，由 a₇=a₆+2a₅ ，
得 a₁q⁶=a₁q⁵+2a₁q⁴，
∵等比數列{a_n}的各項均為正數，
∴q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），
∵

am•an

=2a1，∴2

m+n-2

2

=2，則m+n-2=2，
即m+n=4，且m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

9

n

=

1

4

（m+n）（

1

m

+

9

n

）=

1

4

(10+

9m

n

+

n

m

)≥

1

4

×(10+2

9

)=4，
當且僅當

9m

n

=

n

m

時取等號，
∴

1

m

+

9

n

的最小值是4，
故選C．

點評：本題主要考查等比數列的通項公式，基本不等式的應用，指數的運算性質，注意“1”的代換問題，屬于中檔題題．