Question

如圖，三棱柱中，點在平面ABC內的射影D在AC上，，.
（1）證明：；
（2）設直線與平面的距離為，求二面角的大小.

Answer 1

（1）詳見試題分析；（2）（或）．

試題分析：（1）以為坐標原點，射線為軸的正半軸，以長為單位長，建立空間直角坐標系，計算向量數量積為0，從而證得．也可以利用綜合法：先由已知平面得平面平面，再由面面垂直的性質定理證得平面，而為菱形中最后由三垂線定理得；（2）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式來求二面角的大小．綜合法：先利用三垂線定理或其逆定理作出二面角的平面角，再利用解三角形的有關知識求其余弦值大小．
試題解析：解法一：（1）平面，平面，故平面平面．又，
平面．連結，∵側面為菱形，故，由三垂線定理得；（2）平面平面，故平面平面．作為垂足，則平面．又直線∥平面，因而為直線與平面的距離，．∵為的角平分線，故．作為垂足，連結，由三垂線定理得，故為二面角的平面角．由得為的中點，∴二面角的大小為．

解法二：以為坐標原點，射線為軸的正半軸，以長為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系．由題設知與軸平行，軸在平面內．
（1）設，由題設有則由得，即（①）．于是．
（2）設平面的法向量則即．
故，且．令，則，點到平面的距離為．又依題設，點到平面的距離為．代入①解得（舍去）或．于是．設平面的法向量，則，即，故且．令，則．又為平面的法向量，故，∴二面角的大小為．