Question

【題目】已知橢圓C1： （a＞b＞0）的離心率為e＝，過C1的左焦點F1的直線l：x－y＋2＝0，直線l被圓C2： ＋＝（r>0）截得的弦長為2．

（1）求橢圓C1的方程：

（2）設C1的右焦點為F2，在圓C2上是否存在點P，滿足｜PF1｜＝｜PF2｜，若存在，指出有幾個這樣的點（不必求出點的坐標）；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在

【解析】試題分析：（I）求出F1點坐標即可得出c，進而利用離心率得出a，b，求出橢圓方程；

（II）利用垂徑定理求出圓C2的半徑r，根據|PF1|=|PF2|列方程求出P點軌跡方程，根據軌跡與圓C2有無交點得出結論．

試題解析：

（Ⅰ）直線與x軸的交點坐標為（﹣2，0），∴F1（﹣2，0）．

即c=2，又e==，∴a=4，b==2，

∴橢圓C1的方程為．

（Ⅱ）∵圓心C2（3，3）到直線l的距離d==，

又直線l被圓C2截得的弦長為2，

∴圓C2的半徑r==2，

故圓C2的方程為（x﹣3）2+（y﹣3）2=4．

設圓C2上存在點P（x，y），滿足｜PF1｜＝｜PF2｜，即|PF1|=|PF2|，

又F1（﹣2，0），F2（2，0），∴，

整理得（x﹣14）2+y2=192，表示圓心在C（14，0），半徑是8的圓．

∴|CC2|=，

∴兩圓沒有公共點．

∴圓C2上不存在點P滿足｜PF1｜＝｜PF2｜．