Question

選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）
（1）當a=4時，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若f（x）≥4對x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式即|x-1|+|x-4|≥5，等價于

x＜1 -2x+5≥5

，或

1≤x≤4 3≥5

，或 

x＞4 2x-5≥5

，分別求出每個不等式組的解集，再取并集即得所求．
（Ⅱ）因為f（x）=|x-1|+|x-a|≥|a-1|，由題意可得|a-1|≥4，與偶此解得 a的值．

解答：解：（Ⅰ）當a=4時，不等式f（x）≥5，即|x-1|+|x-4|≥5，等價于
，

x＜1 -2x+5≥5

，或

1≤x≤4 3≥5

，或 

x＞4 2x-5≥5

．
解得：x≤0或 x≥5．
故不等式f（x）≥5的解集為 {x|x≤0，或 x≥5 }． …（5分）
（Ⅱ）因為f（x）=|x-1|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|．（當x=1時等號成立）
所以：f（x）_min=|a-1|．…（8分）
由題意得：|a-1|≥4，解得  a≤-3，或a≥5． …（10分）

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，屬于中檔題．