Question

△ABC中，內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知a、b、c成等比數列，且cosB=

4

5

．
（1）求

1

tanA

+

1

tanC

的值；   
（2）設

BA

•

BC

=

8

5

，求a²+c²的值．

Answer 1

分析：（1）將所求的關系式

1

tanA

+

1

tanC

切化弦，再結合a、b、c成等比數列，利用正弦定理化角的弦函數即可求得答案；
（2）由

BA

•

BC

=

8

5

可求得accosB的值，再利用余弦定理即可求得答案．

解答：解：（1）由cosB=

4

5

，得sinB=

1-( 4 5 )2

=

3

5

…1分
由b²=ac及正弦定理得sin²B=sinAsinC…2分
于是

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

…3分
=

cosAsinC+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sin2B

…4分
=

sinB

sin2B

…5分
=

1

sinB

=

5

3

…6分
（2）由

BA

•

BC

=

8

5

得accosB=

8

5

…8分
由cosB=

4

5

，得ac=2，即b²=2…10分
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²=b²+2accosB=

26

5

…12分]

點評：本題考查正弦定理、余弦定理的應用，考查平面向量數量積的運算，考查分析轉化與運算能力，屬于中檔題．