Question

【題目】【2017福建三明5月質檢】如圖，在四棱錐中，側面底面，底面是平行四邊形， ， ， ， 為的中點，點在線段上．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）試確定點的位置，使得直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等．

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】

（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，連接，因為， ， ，

由余弦定理得，得，

所以，即，又，

所以，

又， ，所以， ，

所以平面，所以．

（Ⅱ）側面底面， ，所以底面，所以直線兩兩互相垂直，以為原點，直線為坐標軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則 ，所以， ， ，

設，

則， ，

所以，

易得平面的法向量．

設平面的法向量為，

由， ，

得，令，得．

因為直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等，

所以，即，所以，

即，解得，所以．