Question

設函數f(x)＝x²＋aln(x＋1)有兩個極值點x₁，x₂，且x₁<x₂.
(1)求實數a的取值范圍；
(2)當a＝時，判斷方程f(x)＝－的實數根的個數，并說明理由．

Answer 1

（1）0<a<（2）方程f(x)＝－有且只有一個實數根

(1)由f(x)＝x²＋aln(x＋1)，可得f′(x)＝2x＋ (x>－1)．
令g(x)＝2x²＋2x＋a(x>－1)，則其對稱軸為x＝－.由題意可知x₁，x₂是方程g(x)＝0的兩個均大于－1的不相等的實數根，其充要條件為解得0<a< .
(2)由a＝可知x₁＝－，x₂＝－，從而易知函數y＝f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．
①由y＝f(x)在上單調遞增，且f＝＋·ln＝－ln 2>－，以及f＝＋·ln＝－－＋<－，故方程f(x)＝－在有且只有一個實根；
②由于y＝f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，因此f(x)在上的最小值f＝＋·ln＝＋ln>－，故方程f(x)＝－在上沒有實數根．
綜上可知，方程f(x)＝－有且只有一個實數根