Question

【題目】已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．
（Ⅰ）求證：f（x）≥5；
（Ⅱ）若對任意實數x，15﹣2f（x）＜a2+ 都成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵ ， ∴f（x）的最小值為5，∴f（x）≥5．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：15﹣2f（x）的最大值等于5．
∵ ，
“=”成立 ，即 ，
∴當 時， 取得最小值5．
當 時， ，
又∵對任意實數x， 都成立，
∴ ．∴a的取值范圍為
【解析】（Ⅰ）通過討論x的范圍，得到關于f（x）的分段函數，從而求出f（x）的最小值即可；（Ⅱ）根據基本不等式的性質求出a的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．