Question

【題目】某農科所發現，一中作物的年收獲量y（單位：kg）與它”相近“作物的株數x具有線性相關關系（所謂兩株作物”相近“是指它們的直線距離不超過1m），并分別記錄了相近作物的株數為1，2，3，5，6，7時，該作物的年收獲量的相關數據如下：

X	1	2	3	5	6	7
y	60	55	53	46	45	41

（Ⅰ）求該作物的年收獲量y關于它”相近“作物的株數x的線性回歸方程；
（Ⅱ）農科所在如圖所示的正方形地塊的每個格點（指縱、橫直線的交叉點）處都種了一株該作物，其中每一個小正方形的面積為1，若在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數學期望．（注：年收獲量以線性回歸方程計算所得數據為依據）
附：對于一組數據（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），其回歸直線y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估計分別為 = = ， = ﹣ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）計算 = ×（1+2+3+5+6+7）=4， = ×（60+55+53+46+45+41）=50，
（xi﹣ ）（yi﹣ ）=（﹣3）×10+（﹣2）×5+（﹣1）×3+1×（﹣4）+2×（﹣5）+3×（﹣9）=﹣84，
=（﹣3）2+（﹣2）2+（﹣1）2+12+22+32=28；
∴回歸系數為 = = =﹣3，
= ﹣ =50﹣（﹣3）×4=62，
∴該作物的年收獲量y關于它”相近“作物的株數x的線性回歸方程是 =﹣3x+62；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中回歸直線過程知，當x=2時， =﹣3×2+62=56；
當x=3時， =﹣3×3+62=53；
當x=4時， =﹣3×4+62=50；
∴P（y=56）=P（X=2）= = ，
P（Y=53）=P（X=3）= = ，
P（Y=50）=P（X=4）= = ；
∴年收獲量Y的分布列

Y	56	53	50
P

數學期望為EY=56× +53× +50× =53．
【解析】（Ⅰ）計算 、 ，求出回歸系數，寫出回歸方程；（Ⅱ）利用回歸直線過程，求出x=2、3、4時對應 的值； 計算對應的概率值，寫出分布列，求出數學期望值．