Question

【題目】已知常數且，在數列中，首項，是其前項和，且，.

（1）設，，證明數列是等比數列，并求出的通項公式；

（2）設，，證明數列是等差數列，并求出的通項公式；

（3）若當且僅當時，數列取到最小值，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；

（2）證明見解析，；（3）.

【解析】

（1）令，求出的值，再令，由，得出，將兩式相減得，再利用等比數列的定義證明為常數，可得出數列為等比數列，并確定等比數列的首項和公比，可求出；

（2）由題意得出，再利用等差數列的定義證明出數列為等差數列，確定等差數列的首項和公差，可求出數列的通項公式；

（3）求出數列的通項公式，由數列在時取最小值，可得出當時，，當時，，再利用參變量分離法可得出實數的取值范圍.

（1）當時，有，即，；

當時，由，可得，將上述兩式相減得，

，，

且，

所以，數列是以，以為公比的等比數列，；

（2）由（1）知，

，由等差數列的定義得，

且，所以，數列是以為首項，以為公差的等差數列，

因此，；

（3）由（2）知，，，

由數列在時取最小值，可得出當時，，當時，，

由，得，

得在時恒成立，

由于數列在時單調遞減，則，此時，；

由，得，

得在時恒成立，

由于數列在時單調遞減，則，此時，.

綜上所述：實數的取值范圍是.