Question

設數列{a_n}的首項a₁=a（a∈R），且an+1=

an-3 -an+4

an＞3時 an≤3時

n=1，2，3，…．
（I）若0＜a＜1，求a₂，a₃，a₄，a₅；
（II）若0＜a_n＜4，證明：0＜a_n+1＜4；
（III）若0＜a≤2，求所有的正整數k，使得對于任意n∈N^*，均有a_n+k=a_n成立．

Answer 1

分析：（I）由a₁=a且0＜a＜1代入得到a₂；a₂∈（3，4），代入（2）得到a₃；a₃∈（0，1），代入（1）得a₄；a₄∈（3，4），代入（2）得到a₄；a₅∈（0，1），代入（1）所以求得a₅；
（II）分兩種情況①當0＜a_n≤3時和②當3＜a_n＜4得到0＜a_n+1＜4得證；
（III）分三種情況若0＜a＜1；1≤a＜2；若a=2，由特殊值得到k的特值，寫出k的一般的取值即可．

解答：解：（Ⅰ）因為a₁=a∈（0，1）得a₂∈（3，4），所以a₂=-a₁+4=-a+4；
a₃∈（0，1）所以a₃=a₂-3=-a+1；
a₄∈（3，4）所以a₄=-a₃+4=a+3，
a₅∈（0，1）所以a₅=a₄-3=a
（Ⅱ）證明：①當0＜a_n≤3時，a_n+1=-a_n+4，所以1≤a_n+1＜4．
②當3＜a_n＜4，a_n+1=a_n-3，所以0＜a_n+1＜1．
綜上，0＜a_n＜4時，0＜a_n+1＜4
（Ⅲ）解：①若0＜a＜1，由（I）知a₅=a₁，所以k=4
因此，當k=4m（m∈N*）時，對所有的n∈N*，a_n+k=a_n成立
②若1≤a＜2，則a₂=-a+4，且a₂∈（2，3]a₃=-a₂+4=-（-a+4）+4=a=a₁，所以k=2
因此，當k=2m（m∈N*）時，對所有的n∈N*，a_n+k=a_n成立
③若a=2，則a₂=a₃=a₄=2，所以k=1，
因此k=m（m∈N*）時，對所有的n∈N*，a_n+k=a_n成立
綜上，若0＜a＜1，則k=4m；1≤a＜2，則k=2m；若a=2，則k=m．m∈N*

點評：考查學生會利用數列的遞推式解決數學問題，會進行不等式的證明，掌握利用分類討論的數學思想解決問題的能力．