Question

【題目】已知函數，其中．

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）若，是方程的兩個不同的實數根，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上單調遞增．；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）對函數求導，由定義域和已知即可判斷的單調性；

（Ⅱ）根據已知條件列出等式，利用分析法證明即可．

解：（Ⅰ）由題知的定義域為，

，

由于，，所以恒成立，

故函數在上單調遞增．

（Ⅱ）因為，是方程，

即方程的兩個不同的實數根，

所以，所以，

證法一：設，

則，

可得，，

要證，

只需證，

只需證，

只需證，

只需證，

考慮到，

只需證．（*）

令，

則，

所以在上單調遞減，

所以，

所以（*）式成立，所以原命題成立．

證法二：由，

得，

所以．（*）．

又要證，

只需證，

只需證，結合（*）式，

只需證，

設，只需證明，

構造函數，只需求證，

由于，則，

所以成立，所以得證．