Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C過點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓O的直徑為．

（1）求橢圓C及圓O的方程；

（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P．

①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)．若的面積為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）橢圓C的方程為；圓O的方程為

（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)為；②直線l的方程為

【解析】分析：（1）根據(jù)條件易得圓的半徑，即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，解方程組可得a,b，即得橢圓方程；（2）第一問先根據(jù)直線與圓相切得一方程，再根據(jù)直線與橢圓相切得另一方程，解方程組可得切點(diǎn)坐標(biāo).第二問先根據(jù)三角形面積得三角形底邊邊長，再結(jié)合①中方程組，利用求根公式以及兩點(diǎn)間距離公式，列方程，解得切點(diǎn)坐標(biāo)，即得直線方程.

詳解：解：（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為，

可設(shè)橢圓C的方程為．又點(diǎn)在橢圓C上，

所以，解得

因此，橢圓C的方程為．

因?yàn)閳AO的直徑為，所以其方程為．

（2）①設(shè)直線l與圓O相切于，則，

所以直線l的方程為，即．

由，消去y，得

．（*）

因?yàn)橹本�l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以．

因?yàn)?/span>，所以．

因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

②因?yàn)槿�角�?/span>OAB的面積為，所以，從而．

設(shè)，

由（*）得，

所以

．

因?yàn)?/span>，

所以，即，

解得舍去），則，因此P的坐標(biāo)為．

綜上，直線l的方程為．