Question

【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，點，（）在曲線C：上，直線l過點且與垂直，垂足為P．

（Ⅰ）當時，求在直角坐標系下點P坐標和l的方程；

（Ⅱ）當M在C上運動且P在線段上時，求點P在極坐標系下的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），．

【解析】

（1）利用極坐標轉換公式可得，則可求出直線斜率，利用垂直關系可求出的斜率，由點斜式可求出直線的方程，聯立和直線可求出垂足坐標.

（2）設點的極坐標為，由題意結合平面幾何知識可得，求出，即可得解.

解：（1）因為在上，當，,則M極坐標為，化成直角坐標為,則直線斜率為，所以，

此時在平面直角坐標系下：，則的方程：，即.

聯立和直線得，解得 ，則.

（2）設點的極坐標為，因為在上且垂直于，

，因為P在線段上，且，

故的取值范圍是．所以，P點軌跡的極坐標方程為，.