Question

如果函數f（x）在x=x₀處取得極值，則點（x₀，f（x₀））稱為函數f（x）的一個極值點．已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0，a，b，c，d∈R）的一個極值點恰為坐標系原點，且y=f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-1=0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）在[-2，2]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的極值點為原點得f（0）=0、f′（0）=0，可求d、c值，根據f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-1=0可得f（1）=-2，f′（1）=-3，聯立可解得a、b；
（2）利用導數求出f（x）在[-2，2]上的極值、函數在區間端點處的函數值，其中最大者為最大值，最小者為最小值，由此可得值域；

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，由f（0）=0，得d=0，
f′（0）=0，解得c=0，
又y=f（x）在x=1處的切線方程為3x+y-1=0，
所以f（1）=-2，即a+b=-2①，f′（1）=-3，即3a+2b=-3②，聯立①②解得a=1，b=-3，
所以f（x）=x³-3x²；
（2）f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）=0，解得x=0，2，
令f′（x）＞0，得x＜0或x＞2，所以f（x）在[-2，0]內遞增，
令f′（x）＜0，得0＜x＜2，所以函數f（x）在[0，2]內遞減，
所以f（x）_max=f（0）=0，f（-2）=-20，f（2）=-4，所以f（x）_min═-20，
故函數f（x）在[-2，2]上的值域為[-20，0]．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、最值及函數在某點處的切線方程，屬中檔題．