Question

【題目】如圖，四面體ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)．

（1）證明：DO⊥底面ABC；

（2）求二面角D-AE-C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）.

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，在根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證得平面.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.

（1）證明：∵ AD＝CD＝，O是AC的中點(diǎn)，

∴ DO⊥AC．

∵ 平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC，

∴ DO⊥底面ABC．

（2）解：由條件易知DO⊥BO，BO⊥AC．

OA＝OC＝OD＝2， OB＝

如圖，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸， OB為y軸，OC為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則，，，

，，

，，．

設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為，

則 即

令，則，所以．

同理可得平面AEC的一個(gè)法向量．

．

因?yàn)槎�面�?/span>D-AE-C的平面角為銳角,所以二面角D-AE-C的余弦值為．