Question

(14分) 已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，判斷方程實(shí)根個(gè)數(shù).

（3）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根

（3）

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到導(dǎo)數(shù)的值，切點(diǎn)坐標(biāo)得到結(jié)論。

（2）時(shí)，令，

 求解導(dǎo)數(shù)，并判定又，

在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)進(jìn)而得到結(jié)論。

（3）恒成立， 即恒成立，

 又，則當(dāng)時(shí)，恒成立，

分離參數(shù)法構(gòu)造新函數(shù)利用求解的最小值得到參數(shù)m的范圍。

（1）時(shí)，，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，

切線方程為

（2）時(shí)，令，

，在上為增函數(shù)

又，

在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根

（或說明也可以）

（3）恒成立， 即恒成立，

 又，則當(dāng)時(shí)，恒成立，

令，只需小于的最小值，

，

， ， 當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞減，在的最小值為，

則的取值范圍是

考點(diǎn)：本題主要是考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，求解最值和導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為哈雙女戶的最值來處理，并得到參數(shù)的范圍，同時(shí)要理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示的為切線的斜率。