Question

【題目】數列對于確定的正整數，若存在正整數使得成立，則稱數列為“階可分拆數列”.

（1）設 是首項為2，公差為2的等差數列，證明為“3階可分拆數列”；

（2）設數列的前項和為，若數列為“階可分拆數列”，求實數的值；

（3）設，試探求是否存在使得若數列為“階可分拆數列”．若存在，請求出所有，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）或3.

【解析】試題分析：

(1)利用題中所給的新定義內容結合等差數列的通項公式即可證得結論；

(2)由題意整理計算可得；

(3)假設實數m存在，討論可得或3.

試題解析：

（1）由題意可知

，所以

所以為“3階可分拆數列”；

因為數列的前項和為

當時，；當時，

所以

因為存在正整數得成立

當時即

因為，

所以，而所以不存在正整數（）使得成立

當時，得

所以時存在正整數使得成立

由得.

假設存在使得若數列為“階可分拆數列”

即存在確定的正整數，存在正整數使得成立

當時，，時方程成立

當時

當時；當時

當時，所以不存在正整數使得成立

當時，當時成立

④當時

所以不存在正整數使得成立

綜上：或3.