Question

【題目】已知函數f（x）= x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同，則a∈（0，+∞）時，實數b的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函數f（x）的導數為f'（x）=x+2a， 函數g（x）的導數為 ，
由于兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，設為P（x0 ， y0），
則 ，
由于x0＞0，a＞0
則x0=a，因此
構造函數 ，
由h'（t）=2t（1﹣3lnt），
當 時，h'（t）＞0即h（t）單調遞增；當 時，h'（t）＜0即h（t）單調遞減，
則 即為實數b的最大值．
故選D．
分別求出函數f（x）的導數，函數g（x）的導數．由于兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，
設為P（x0 ， y0），則有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b關于a的函數，構造函數 ，運用導數求出單調區間和極值、最值，即可得到b的最大值．