Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別是棱AA₁，BB₁的中點，求異面直線A₁F與D₁E所成角的余弦值．

Answer 1

證明：連接A₁C₁、C₁F、EF，
∵正方形AA₁B₁B中，E，F分別是棱AA₁，BB₁的中點，
∴A₁B₁∥EF且A₁B₁=EF
∵A₁B₁∥C₁D₁且A₁B₁=C₁D₁，
∴EF∥C₁D₁且EF=C₁D₁，可得四邊形C₁D₁FE是平行四邊形
因此，D₁E∥C₁F，
∴∠A₁FC₁（或其補角）就是異面直線A₁F與D₁E所成角
設正方體棱長為2，則△A₁FC₁中，A₁F=C₁F=

5

，A₁C₁=2

2

由余弦之理，得cos∠A₁FC₁=

5+5-8

2× 5 × 5

=

1

5

＞0
∴∠A₁FC₁是銳角，可得異面直線A₁F與D₁E所成角的余弦值為

1

5

．