Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）用定義證明函數f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數；
（2）若x∈[1，2]，求函數f（x）的值域；
（3）若g（x）= ，且當x∈[1，2]時g（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）= ﹣

∵x1＜x2，∴2x2﹣2x1＞0

又2x1+1＞0，2x2+1＞0，

f（x1）﹣f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數

（2）解：∵f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數，

∴f（x）值域為

（3）解：當x∈[{1，2}]時，g（x）∈

∵g（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，

∴ ，∴

【解析】（1）根據函數單調性的定義，先在所給區間上任設兩個數并確定好大小，然后通過作差法即可獲得自變量對應函數值的大小關系，由定義即可獲得問題的解答；（2）結合（1）所證明的結論即可獲得函數在[1，2]上的單調性，從而可以求的函數在[1，2]上的最值，進而問題即可獲得解答；（3）充分利用前兩問答結論，即可獲得g（x）= 在[1，2]上的最值，結合恒成立的條件即可將問題轉化為實數a的不等關系，求解即可獲得問題的解答．