Question

已知：定義在R上的函數f（x）=x²（ax-3），其中a為常數．
（1）若a=1，求：f（x）的圖象在點（1，-2）處的切線方程；
（2）若x=1是函數f（x）的一個極值點，求：實數a的值；
（3）若函數f（x）在區間（-1，0）上是增函數，求：實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）當a=1時，f（x）=x³-3x²，則f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
則k=f′（1）=-3，
∴切線方程為：y+2=-3（x-1），即3x+y-1=0；
（2）f（x）=ax³-3x²，得到f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
∵x=1是f（x）的一個極值點，
∴f′（1）=0即3（a-2）=0，∴a=2；
（3）①當a=0時，f（x）=-3x²在區間（-1，0）上是增函數，則a=0符合題意；
②當a≠0時，f′（x）=3ax（x-

2

a

），令f′（x）=0，則x₁=0，x₂=

2

a

，
當a＞0時，對任意x∈（-1，0），f′（x）＞0，則a＞0符合題意；
當a＜0時，當x∈（

2

a

，0）時，f′（x）＞0，則

2

a

≤-1，∴-2≤a＜0符合題意，
綜上所述，a≥-2滿足要求．