Question

已知橢圓C：的兩個焦點是F₁(c,0)，F₂(c，0)(c>0)。
(I)若直線與橢圓C有公共點，求的取值范圍；
(II)設E是(I)中直線與橢圓的一個公共點，求|EF₁|+|EF₂|取得最小值時，橢圓的方程；
(III)已知斜率為k(k≠0)的直線l與(II)中橢圓交于不同的兩點A，B，點Q滿足   且，其中N為橢圓的下頂點，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

(I).（II）.（III）直線縱截距的范圍是.

試題分析：(I)由題意聯立方程組
由得，
根據，即可得到的取值范圍是.
（II）由橢圓的定義得,
及，得到當時，有最小值，確定得到橢圓的方程的方程.
（III）設直線方程為，
通過聯立 ,整理得到一元二次方程，設，
應用韋達定理，結合得為的中點，，得到，可建立的方程， 從而由得到使問題得解.
試題解析：(I)由題意知.
由得，
所以，解得，
所以求的取值范圍是.
（II）由橢圓的定義得,
因為，所以當時，有最小值，
此時橢圓的方程的方程為.
（III）設直線方程為，
由整理得，
化簡得
設
則
由得為的中點，所以
因為，所以
即，化簡得
又，
所以
又，所以
.