Question

【題目】設函數，，其中.

（1）若，，求函數在處的切線方程；

（2）討論的單調區間.

Answer 1

【答案】（1）；（2）a＞0時，f（x）的增區間為（﹣∞，），（，+∞），減區間為（，）；a≤0時，f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，+∞），無減區間.

【解析】

（1）當a＝1，b＝2時，可得f（x），f′（x），而切線斜率k＝f′（1），易求f（1），從而可得切點坐標，由點斜式可得切線方程；

（2）求出f（x）的導數，討論a≤0時f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；當a＞0時，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間；

（1）當a＝1，b＝2時，f（x）＝x3﹣x-2，f′（x）＝3x2﹣1，

則切線斜率k＝f′（1）＝2，

f（1）＝1﹣1-2＝-2，則切點為（1，-2），

∴函數f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y+2＝2（x﹣1），即y＝2x-4；

（2）若f（x）＝x3﹣ax﹣b，則f′（x）＝3x2﹣a，

分兩種情況討論：

①當a≤0時，有f′（x）＝3x2﹣a≥0恒成立，

此時f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，+∞），無減區間.

②當a＞0時，令f′（x）＝3x2﹣a＝0，解得x或x，

當x或x時，f′（x）＝3x2﹣a＞0，f（x）為增函數，

當x時，f′（x）＝3x2﹣a＜0，f（x）為減函數，

故f（x）的增區間為（﹣∞，），（，+∞），減區間為（，）；