Question

【題目】設數列的前項和為，對于任意的，都有.

（1）求數列的首項及數列的遞推關系式；

（2）若數列成等比數列，求常數的值，并求數列的通項公式；

（3）數列中是否存在三項、、，它們組成等差數列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2），的通項公式為，；（3）不存在滿足條件的三項，理由見解析.

【解析】

（1）由遞推公式求解；

（2）利用遞推公式可得，利用等比數列的定義可求；

（3）假設存在、、成等差數列，則，結合（1）中的通項公式進行推理．

（1）對于任意的，都有.

令，則，解得；

當時，則，

化簡得，即，

故數列的遞推公式為；

（2）由（1）知，，則，

由題意，故當，且時，數列是等比數列，

所以，當時，數列成等比數列.

此時，，故，即，.

綜上，，數列的通項公式為，；

（3）假設、、成等差數列，則，

即，所以，從而，

因為、、且，故為偶數，而為奇數.

所以，不可能成立，即不存在滿足條件的三項.