Question

已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，為其前n項(xiàng)和，且滿足,．?dāng)?shù)列滿足,， 為數(shù)列的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）
（2）．          ……9分
（3） 存在       

試題分析：(1)由可令n=1,n=2得到關(guān)于a₁與d的兩個(gè)方程，從而可解出a₁和d,得到a_n的通項(xiàng)公式.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824000213328565.png" style="vertical-align:middle;" />,所以顯然要采用裂項(xiàng)求和的方法求出其前n項(xiàng)和.
(2)因?yàn)楸拘☆}是關(guān)于n的不等式恒成立問題，應(yīng)對(duì)n的奇偶進(jìn)行討論.分別再對(duì)得到的結(jié)果求交集.
（3）解本小題的關(guān)鍵由，
若成等比數(shù)列，則，即．
從而得,據(jù)此得到m的范圍，找到m的值，進(jìn)一步得到n的值.
解：（1）在中，令，，
得  即     ……1分
解得，，                ……2分
又時(shí)，滿足，
，    ……3分
．  ……4分
（2）①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   ……5分
，等號(hào)在時(shí)取得
此時(shí)需滿足                      ……6分
②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．    ……7分
是隨的增大而增大，時(shí)取得最小值．
此時(shí)需滿足．          ……8分
綜合①、②可得的取值范圍是．          ……9分
（3），
若成等比數(shù)列，則，……10分
即．                         
由，可得， ……12分
即，
．          ……13分     
又，且，所以，此時(shí)．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，數(shù)列中的成等比數(shù)列．    …14分
[另解] 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824000214904906.png" style="vertical-align:middle;" />，故，即，
．
點(diǎn)評(píng)：（1）由a_n與S_n的關(guān)系求通項(xiàng)要注意根據(jù)需要給n賦值，每賦一個(gè)值就可得到一個(gè)方程.
（2）有關(guān)n的不等式恒成立問題，要注意題目當(dāng)中如果有要注意按n為奇偶進(jìn)行討論.
（3）解小題的關(guān)鍵是利用成等比數(shù)列,建立n與m的等式關(guān)系，下一步難點(diǎn)在于對(duì)式子的變形處理上，要注意體會(huì)其方法.