Question

【題目】某企業生產一種產品，從流水線上隨機抽取100件產品，統計其質量指標值并繪制頻率分布直方圖（如圖）：

規定產品的質量指標值在的為劣質品，在的為優等品，在的為特優品，銷售時劣質品每件虧損1元，優等品每件盈利3元，特優品每件盈利5元.以這100 件產品的質量指標值位于各區間的頻率代替產品的質量指標值位于該區間的概率.

（1）求每件產品的平均銷售利潤；

（2）該企業為了解年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對近5年年營銷費用和年銷售量數據做了初步處理，得到如圖的散點圖及一些統計量的值.

16.30	23.20	0.81	1.62

表中，，，.

根據散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關于年營銷費用（萬元）的回歸方程.

①求關于的回歸方程；

⑦用所求的回歸方程估計該企業應投人多少年營銷費，才能使得該企業的年收益的預報值達到最大？（收益=銷售利潤營銷費用，取）

附：對于一組數據，，…，其回歸直線均斜率和截距的最小二乘估計分別為，.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①，②900萬元.

【解析】

（1）先設每件產品的銷售利潤為，判斷出的可能取值，根據頻率分布直方圖求出對應概率，進而得出分布列，求出期望；

（2）①先由得，，令，，，則，根據表中數據求出，，進而可得，從而可得，整理即可求出結果；

②設年收益為萬元，則，令，則，進而可求出結果.

（1）設每件產品的銷售利潤為，則的可能取值為-1，3，5由頻率分布直方圖可得產品為劣質品、優等品、特優品的概率分別為0.05，0.85，0.1.所以；；，…

所以的分布列為

	-1	3	5
	0.05	0.85	0.1

所以（元）.

即每件產品的平均銷售利潤為3元.

（2）①由得，.

令，，，則，

由表中數據可得，，

則.

所以，即.

因為，所以，故所求的回歸方程為.

②設年收益為萬元，則.

令，則，

所以當，即時，有最大值900.

即該企業應該投入900萬元營銷費，能使得該企業的年收益的預報值達到最大900萬元.