Question

在矩形ABCD中，以DA所在直線為x軸，以DA中點O為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．已知點B的坐標為（3，2），E、F為AD的兩個三等分點，AC和BF交于點G，△BEG的外接圓為⊙H．
（1）求證：EG⊥BF；
（2）求⊙H的方程；
（3）設點P（0，b），過點P作直線與⊙H交于M，N兩點，若點M恰好是線段PN的中點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知A，B，C，F的坐標，進而求得AC和BF的直線方程，聯立求得焦點G的坐標，進而求得EG，BF的斜率，根據二者的乘積為-1判斷出EG⊥BF；
（2）求得圓心和半徑，進而求得圓的標準方程；
（3）設M點的坐標為（x₀，y₀），則N點的坐標可知，代入圓的方程聯立求得8x₀+4（1-b）y₀+b²+2b-9=0，判斷出點M在此直線上，進而根據點到直線的距離求得圓心到直線的距離小于或等于

2

整理求得b的范圍．

解答：（1）證明：由題意，A（3，0），B（3，2），C（-3，2），F（-1，0）．
所以直線AC和直線BF的方程分別為：x+3y-3=0，x-2y+1=0，
由

x+3y-3=0 x-2y+1=0

解得

x= 3 5 y= 4 5

所以G點的坐標為（

3

5

，

4

5

）．
所以k_EG=-2，kBF=

1

2

，
因為k_EG•k_BF=-1，所以EG⊥BF，
（2）解：⊙H的圓心為BE中點H（2，1），半徑為BH=

2

，
所以⊙H方程為（x-2）²+（y-1）²=2．
（3）解：設M點的坐標為（x₀，y₀），則N點的坐標為（2x₀，2y₀-b），
因為點M，N均在⊙H上，所以

(x0-2)2+(y0-1)2=2① (2x0-2)2+(2y0-b-1)2=2②

由②-①×4，得8x₀+4（1-b）y₀+b²+2b-9=0，
所以點M（x₀，y₀）在直線8x+4（1-b）y+b²+2b-9=0，
又因為點M（x₀，y₀）在⊙H上，
所以圓心H（2，1）到直線8x+4（1-b）y+b²+2b-9=0的距離

|16+4(1-b)+b2+2b-9|

64+16(1-b)2

≤

2

，
即|（b-1）²+10|≤4

8+2(b-1)2

，
整理，得（b-1）⁴-12（b-1）²-28≤0，即[（b-1）²+2][（b-1）²-14]≤0，
所以1-

14

≤b≤1+

14

，故b的取值范圍為[1-

14

，1+

14

]．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．