Question

在矩形ABCD中，|AB|=2

3

，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標系（如圖所示）．若R、R′分別在線段0F、CF上，且

|OR|

|OF|

=

|CR′|

|CF|

=

1

n

．
（Ⅰ）求證：直線ER與GR′的交點P在橢圓Ω：

x2

3

+y²=1上；
（Ⅱ）若M、N為橢圓Ω上的兩點，且直線GM與直線GN的斜率之積為

2

3

，求證：直線MN過定點；并求△GMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用已知可得直線GR′，ER的方程，利用即可得出點P的坐標，代入滿足橢圓Ω的方程即可；
（II）當直線MN的斜率存在時，設MN的方程為y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯立即可得到根與系數的關系，再利用k_GM•k_GN=

2

3

．即可得出b的值，從而證明直線過定點，再利用弦長公式和點到直線的距離公式即可得到三角形的面積計算公式，通過換元利用基本不等式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵

|OR|

|OF|

=

|CR′|

|CF|

=

1

n

，∴R(

3

n

，0)，R′(

3

，1-

1

n

)．
又n＞0，則直線GR'的方程為y=-

1

3 n

x+1①
又E（0，-1）則直線ER的方程為y=

n

3

x-1②
由①②得P(

2 3 n

n2+1

，

n2-1

n2+1

)
∵|OP|²=

( 2 3 n n2+1 )2

3

+(

n2-1

n2+1

)2=

4n2+(n2-1)2

(n2+1)2

=1
∴直線MN與MN的交點MN在橢圓Ω：

x2

3

+y2=1上．        
（Ⅱ）①當直線MN的斜率不存在時，設MN：x=t(-

3

＜t＜

3

)．
不妨取M(t，

1- t2 3

)，N(t，-

1- t2 3

)，∴kGM•kGN=

1

3

，不合題意．
②當直線MN的斜率存在時，設MN的方程為y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯立方程

y=kx+b x2 3 +y2=1

  得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0
則△=12（3k²-b²+1）＞0，
∴x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1•x2=

3b 2-3

1+3k2

．
又k_GM•k_GN=

y1-1

x1

•

y2-1

x2

=

k2x1x2+k(b-1)(x1+x2)+(b-1)2

x1x2

=

2

3

．
即(3k2-2)x1x2+3k(b-1)(x1+x2)+3(b-1)2=0
將x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1•x2=

3b 2-3

1+3k2

代入上式得b²+2b-3=0
解得b=-3或b=1（舍）
∴直線過定點（0，3）．
∵|MN|=

1+k2

|x1-x2|，點G到直線MN的距離為d=

4

1+k2

∴S△GMN=

1

2

|MN|•d=2|x1-x2|=2

(x1+x2)2-4x1x2

=4

3

•

3k2-8

1+3k2

由b=-3及△＞0知：3k²-8＞0，令

3k2-8

=t＞0 即3k²=t²+8．
∴

3k2-8

1+3k2

=

t

t2+9

=

1

t+ 9 t

≤

1

6

 當且僅當t=3時，
S_△GMN=

2 3

3

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、基本不等式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．