Question

【題目】設λ是正實數，（1+λx）20的二項展開式為a0+a1x+a2x2+…+a20x20，其中a0，a1，…，a20 ，…，均為常數

（1）若a3＝12a2，求λ的值；

（2）若a5≥an對一切n∈{0，1，…，20}均成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）λ＝2 （2）

【解析】

（1）根據通項公式可得Cλ3＝12Cλ2，解得λ＝2即可；

（2）假設第r+1項系數最大，根據題意列式，化簡得，再根據a5≥an對一切n∈{0，1，…，20}均成立，得到，解不等式組即可得到答案.

（1）通項公式為Tr+1＝，r＝0，1，2，…，20，

∴由a3＝12a2得，Cλ3＝12Cλ2，解得λ＝2．

（2）假設第r+1項系數最大，因為λ是正實數，依題意得，

解得，變形得，

因為a5≥an對一切n∈{0，1，…，20}均成立，

∴∴，解得．