Question

【題目】已知函數f（x）=loga（ ﹣mx）在R上為奇函數，a＞1，m＞0． （Ⅰ）求實數m的值；
（Ⅱ）指出函數f（x）的單調性．（不需要證明）
（Ⅲ）設對任意x∈R，都有f（ cosx+2t+5）+f（ sinx﹣t2）≤0；是否存在a的值，使g（t）=a ﹣2t+1最小值為﹣ ．

Answer 1

【答案】解：（I）f（﹣x）=﹣f（x）可得，loga（ +mx）=﹣loga（ ﹣mx）=loga（ ）， ∴（ +mx）=（ ），即 2x2+1﹣m2x2=1，∴m2=2，m= ．
（II）由（I）知 f（x）=loga（ ﹣ x）=loga（ ），
故函數f（x）在R上是減函數．
（III）又對任意x∈R，都有f（ cosx+2t+5）+f（ sinx﹣t2）≤0，
∴f（ cosx+2t+5）≤﹣f（ sinx﹣t2）=f（t2﹣ sinx），
∴ cosx+2t+5≥t2﹣ sinx，即 t2﹣2t﹣5≤ sinx+ cosx．
由于 sinx+ cosx=2sin（x+ ）≥﹣2，故 t2﹣2t﹣5≤﹣2，解得﹣1≤t≤3．
令n=2t ， 則n∈[ ，8]，令h（n）=g（t）=a ﹣2t+1 =an2﹣2n，二次函數h（n）的對稱軸方程為n= ．
∵a＞1，∴0＜ ＜1．
當0＜ ＜ 時，h（n）在[ ，8]上是增函數，h（n）的最小值為h（ ）= ﹣1=﹣ ，求得a= （舍去）．
當 ≤ ＜1時，h（n）的最小值為h（ ）=﹣ =﹣ ，求得a= ，滿足條件．
綜上可得，a=
【解析】（I）f（﹣x）=﹣f（x）可得（ +mx）=（ ），即 2x2+1﹣m2x2=1，由此求得m的值．（II）由 f（x）=loga（ ﹣ x）=loga（ ），可得函數f（x）在R上是減函數．（III）先由已知條件求得t2﹣2t﹣5≤﹣2，求得﹣1≤t≤3．令n=2t ， h（n）=g（t）=an2﹣2n，二次函數h（n）的對稱軸方程為n= ．再根據g（t）最小值為﹣ ，利用二次函數的性質、分類討論求得a的值．
【考點精析】本題主要考查了復合函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．